|
|
 |
Условие
Пусть M – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит M.
Какое наибольшее число элементов может быть в M?
Подсказка
Рассмотрите либо четыре самых больших, либо четыре самых меньших числа.
Решение
Пример множества из 7 элементов: {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.
Докажем, что множество M = {a1, a1, ..., an} из n > 7 чисел требуемым свойством не обладает. Можно считать, что a1 > a2 > a3 > ... > an и a4 > 0 (смена знаков всех элементов наше свойство не меняет). Тогда a1 + a2 > a1 + a3 > a1 + a4 > a1, то есть ни одна из сумм a1 + a2, a1 + a3 и a1 + a4 множеству M не принадлежит. Кроме того, суммы a2 + a3 и a2 + a4 не могут одновременно принадлежать M, поскольку a2 + a3 > a2 + a4 > a2. Получается, что по крайней мере для одной из троек (a1, a2, a3) и (a1, a2, a4) сумма любых двух её элементов множеству M не принадлежит.
Ответ
7 элементов.
