Информация о задаче

Задача 52474

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD. Точка M на диагонали AC такова, что около четырёхугольника BCDM можно описать окружность. Докажите, что BD — общая касательная окружностей, описанных около треугольников ABM и ADM.

Подсказка

$\angle$ MBD = $\angle$ BAM.

Решение

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MBD = $\displaystyle \angle$ MCD = $\displaystyle \angle$ BAM,

а точки A и D лежат по разные стороны от прямой BM, то BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ABM. Действительно, если бы это было не так, то взяв на касательной, проведённой в точке B к этой окружности, точку P, лежащую в той же полуплоскости относительно прямой BM, что и точка D, получили бы, что

$\displaystyle \angle$ PBM = $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ MBD,

что невозможно, т.к. от данного луча в заданную плоскость можно отложить ровно один угол, равный данному.

Таким образом, BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ABM.

Аналогично докажем, что BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ADM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MBD = $\displaystyle \angle$ MCD = $\displaystyle \angle$ BAM,

$\displaystyle \angle$ PBM = $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ MBD,

что невозможно, т.к. от данного луча в заданную плоскость можно отложить ровно один угол, равный данному.

Таким образом, BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ABM.

Аналогично докажем, что BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ADM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$ MBD = $\displaystyle \angle$ MCD = $\displaystyle \angle$ BAM,

$\displaystyle \angle$ PBM = $\displaystyle \angle$ BAM = $\displaystyle \angle$ MBD,

что невозможно, т.к. от данного луча в заданную плоскость можно отложить ровно один угол, равный данному.

Таким образом, BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ABM.

Аналогично докажем, что BD — касательная к окружности, описанной около треугольника ADM.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	136