Информация о задаче

Задача 53056

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Площади криволинейных фигур	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности разных радиусов касаются в точке A одной и той же прямой и расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности. Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K. Известно, что MK = $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ , а угол BMA равен 15^o. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A.

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой.

Решение

Пусть O — центр большей окружности. Угол между касательной BM и хордой AM равен 15^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AOM = 2^.15^o = 30^o, $\displaystyle \angle$ MKB = $\displaystyle \angle$ AKB = 90^o

(вписанный угол, опирающийся на диаметр AB меньшей окружности). Тогда

BM = $\displaystyle {\frac{MK}{\cos \angle BMK}}$ = $\displaystyle {\frac{MK}{\cos 15^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}}}$ = 2,

OM = BM cos 30^o = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Если S — искомая площадь, то S = 2S_BMO + S₁, где S₁ — разность между площадью круга ( $\pi$ (2 $\sqrt{3}$ )² = 12 $\pi$ ) и площадью сектора MON с углом 60^o между радиусами ( 12 $\pi$ - ${\frac{12\pi}{6}}$ = 10 $\pi$ ). Следовательно, искомая площадь равна

2BM^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OM + 10 $\displaystyle \pi$ = 4 $\displaystyle \sqrt{3}$ + 10 $\displaystyle \pi$ .

Ответ

4 $\sqrt{3}$ + 10 $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	725