Задача 53801

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC точки D и E делят боковые стороны в отношении  BD : DA = BE : EC = n.  Найдите углы треугольника, если AE ⊥ CD.

Подсказка

Используя подобие треугольников, найдите  tg∠DAE.

Решение 1

  Поскольку треугольник ABC – равнобедренный, то ADEC – равнобедренная трапеция. Пусть K – точка пересечения её диагоналей. Треугольник DBE подобен треугольнику ABC (с коэффициентом ⁿ/_n+1), а треугольник DKE подобен треугольнику CKA (с тем же коэффициентом). Значит,
tg∠KAD = ^DK/_AK = ⁿ/_n+1,  tg∠KAC = 1.
  Поэтому  

Решение 2

  Проведём через точку D прямую, параллельную AE, до пересечения с высотой BM в точке L.
  Равнобедренный прямоугольный треугольник KDL подобен треугольнику AKC с коэффициентом ⁿ/_n+1. Значит,  KL = ⁿ/_n+1 AC.
  BK : LK = AB : AD = n + 1.  Следовательно,  BK = (n + 1)KL = nAC = 2nAM,  BM = BK + AM = (2n + 1)AM.

Ответ

arctg(2n + 1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1565