Информация о задаче

Задача 55377

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Купцов Л.

На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA ( ${\frac{AD}{DB}}$ = ${\frac{BE}{EC}}$ = ${\frac{CF}{FA}}$ = k; $\angle$ ADB = $\angle$ BEC = $\angle$ CFA = $\alpha$ ). Докажите, что:

1) середины отрезков AC, DC, BC и EF — вершины параллелограмма;

2) у этого параллелограмма два угла равны $\alpha$ , а отношение сторон равно k.

Подсказка

Введите векторы $\overrightarrow{DA}$ = $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{EB}$ = $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{FC}$ = $\overrightarrow{c}$ (рис.1); рассмотрите векторы, получающиеся из векторов $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ при помощи поворота на угол $\alpha$ .

Решение

Обозначим через $\overrightarrow{a'}$ вектор, получающийся из вектора $\overrightarrow{a}$ поворотом на угол $\alpha$ против часовой стрелки. Известно, что (k $\overrightarrow{a}$ )' = k $\overrightarrow{a'}$ для любого числа k, ( $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ )' = $\overrightarrow{a'}$ + $\overrightarrow{b'}$ , и вообще, для любого числа слагаемых,

( $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{c}$ )' = $\displaystyle \overrightarrow{a'}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b'}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{c'}$ .

Введём векторы

$\displaystyle \overrightarrow{DA}$ = $\displaystyle \overrightarrow{a}$ , $\displaystyle \overrightarrow{EB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{b}$ , $\displaystyle \overrightarrow{FC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{c}$

(рис.1). По условию задачи

$\displaystyle \overrightarrow{DB}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{a'}$ , $\displaystyle \overrightarrow{EC}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b'}$ , $\displaystyle \overrightarrow{FA}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{c'}$ .

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ + $\displaystyle \overrightarrow{DB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{BE}$ + $\displaystyle \overrightarrow{EC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CF}$ + $\displaystyle \overrightarrow{FA}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ ,

то

- $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{a'}$ - $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b'}$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{c'}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ ,

т.е.

$\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle \overrightarrow{c}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{a'}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b'}$ + $\displaystyle \overrightarrow{c}$ ) = $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle \overrightarrow{c}$ )'.

Обозначив $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ через $\overrightarrow{u}$ , получим, что $\overrightarrow{u}$ = ${\frac{1}{k}}$ $\overline{u'}$ .

Поскольку векторы $\overrightarrow{u}$ и $\overrightarrow{u'}$ неколлинеарны ( $\alpha$ $\ne$ 0 и $\alpha$ $\ne$ 2 $\pi$ ), то полученное равенство возможно тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{0}$ . Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{a}$ + $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle \overrightarrow{c}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Далее, так как Q — середина отрезка DC и P — середина отрезка AC (рис.1), то $\overrightarrow{QP}$ = ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{a}$ . Аналогично $\overrightarrow{QR}$ = ${\frac{1}{2}}$ $\overrightarrow{DB}$ . Поскольку PQ || AD и QR || BD, то $\angle$ PQR = $\alpha$ .

Наконец,

$\displaystyle \overrightarrow{RS}$ = $\displaystyle \overrightarrow{RC}$ + $\displaystyle \overrightarrow{CF}$ + $\displaystyle \overrightarrow{FS}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{FE}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{-\overrightarrow{b} + \frac{1}{k}\overrightarrow{b'}}\right.$ - $\displaystyle \overrightarrow{b}$ + $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overrightarrow{b'}$ $\displaystyle \left.\vphantom{-\overrightarrow{b} + \frac{1}{k}\overrightarrow{b'}}\right)$ - $\displaystyle \overrightarrow{c}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{c} - \frac{1}{k} \overline{b'}}\right.$ $\displaystyle \overrightarrow{c}$ - $\displaystyle {\frac{1}{k}}$ $\displaystyle \overline{b'}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{c} - \frac{1}{k} \overline{b'}}\right)$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overline{b}$ + $\displaystyle \overline{c}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overline{a}$ = $\displaystyle \overline{QP}$ .

Таким образом, четырёхугольник PQRS — параллелограмм с углом PQR, равным $\alpha$ , и отношением длин сторон

$\displaystyle {\frac{PQ}{RQ}}$ = $\displaystyle {\frac{AD}{DB}}$ = k.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4526