Задача 55415

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и K. Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных окружностях. Прямая AB касается одной окружности в точке A. Прямая AC касается другой окружности также в точке A,   BK = 1,  CK = 4,  tg∠BAC = .  Найдите S_ABC.

Подсказка

Треугольники ABK и CAK подобны.

Решение

  Обозначим  ∠BAC = φ.  Поскольку  ∠BAK = ∠ACK,  ∠CAK = ∠ABK,  то  ∠AKB = 180° – φ = ∠AKC,  ∠BKC = 360° – (∠AKB + ∠AKC) = 2φ.  Кроме того, треугольники ABK и CAK подобны по двум углам. Поэтому  BK : AK = AK : KC,  то есть  AK² = BK·KC = 4.
  По условию    Следовательно,   S_ABK = ½ AK·BK sin∠AKB = ¼, S_ACK = 4S_ABK = 1, S_BCK = ½ BK·CK sin 2φ =  
S_ABC = S_ABK + S_ACK + S_BKC =  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4735