Задача 56464

Темы:    [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Одна из диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника является диаметром.
Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

Решение

Пусть AC – диаметр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Опустим перпендикуляры AA₁ и CC₁ и OP на BD (O – центр описанной окружности; см. рис.). Ясно, что P – середина отрезка BD. Прямые AA₁, OP, CC₁ параллельны и  AO = OC,  поэтому  A₁P = PC₁.  Так как P – середина BD, то  BA₁ = DC₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.009