Даны (2n - 1)-угольник  A₁...A_{2n - 1} и точка O. Прямые A_kO и  A_{n + k - 1}A_{n + k} пересекаются в точке B_k. Докажите, что произведение отношений  A_{n + k - 1}B_k/A_{n + k}B_k(k = 1,..., n) равно 1.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Решение

Пусть  r₁,..., r_n — радиусы вписанных окружностей полученных треугольников,  P₁,..., P_n — их периметры, a  S₁,..., S_n — площади. Площадь и периметр исходного многоугольника обозначим через S и P соответственно.
Ясно, что P_i < P (см. задачу 9.27, б)). Поэтому

r₁ + ... + r_n = 2 + ... + 2 > 2 + ... + 2 = 2 = r.

Источники и прецеденты использования