Задача 57522

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что среди всех треугольников ABC с фиксированным углом  и полупериметром p наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием BC.

Решение

Пусть вневписанная окружность касается сторон AB и AC в точках K и L. Так как AK = AL = p, то вневписанная окружность S_a фиксирована. Радиус r вписанной окружности максимален, когда она касается окружности S_a, т. е. треугольник ABC равнобедренный. Ясно также, что S = pr.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.002