Задача 57533

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём  a ≥ b ≥ c;  x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Решение

  Пусть  f = bc cos x + ca cos y + ab cos z.  Так как  cos x = – cos y cos z + sin y sin z,  то  f = c(a – b cos z) cos y + bc sin y sin z + ab cos z.
  Рассмотрим треугольник, длины двух сторон которого равны a и b, а угол между ними равен z; пусть φ и ψ – углы, лежащие против сторон a и b,
t – длина стороны, лежащей против угла z. Легко видеть, что  a – b cos z = t cos ψ,  а  b sin z = t sin ψ.  Следовательно,
f = ct cos ψ cos y + ct sin y sin ψ + ab cos z = ct cos(ψ – y) + ½ (a² + b² – t²).
  Так как  cos(ψ – y) ≤ 1,  то  f ≤ ½ (a² + b² + c²).  Так как  a ≥ b,  то  φ ≥ ψ,  а значит,  – φ ≤ – ψ < y – ψ < π – z – ψ = φ,  то есть
cos(y – ψ) > cos φ.  Поэтому

 

  Коэффициент при t² отрицателен или равен нулю; кроме того,  0 < t < a + b.  Следовательно,

 

Замечания

Оценка сверху, как нетрудно проверить, достигается, когда x, y, z – углы исходного треугольника, лежащие против сторон a, b, c соответственно. Оценка снизу "достигается"; при  x = y = 0,  z = π.
Читатель, знакомый с исследованием функций двух переменных, может получить тот же результат, продифференцировав f по x и по y.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	1
Название	Треугольник
Тема	Экстремальные свойства треугольника (прочее)
задача
Номер	11.013