Условие
Внутри острого угла
BAC дана точка
M. Постройте на сторонах
BA
и
AC точки
X и
Y так, чтобы периметр треугольника
XYM был
минимальным.
Решение
Пусть точки
M1 и
M2 симметричны
M относительно прямых
AB и
AC. Так как
BAM1 =
BAM и
CAM2 =
CAM, то
M1AM2 = 2
BAC < 180
o. Поэтому
отрезок
M1M2 пересекает лучи
AB и
AC в некоторых точках
X
и
Y (рис.). Докажем, что
X и
Y — искомые точки.
В самом деле, если точки
X1
и
Y1 лежат на лучах
AB и
AC,
то
MX1 =
M1X1 и
MY1 =
M2Y1, т. е. периметр треугольника
MX1Y1
равен длине ломаной
M1X1Y1M2. Из всех ломаных с
концами в
точках
M1 и
M2 наименьшую длину имеет отрезок
M1M2.
Источники и прецеденты использования
