Задача 57550

Тема:    [ Четырехугольники (экстремальные свойства) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника AOB равна 4, а площадь треугольника COD равна 9?

Решение

Так как S_AOB : S_BOC = AO : OC = S_AOD : S_DOC, то S_BOC ^. S_AOD = S_AOB ^. S_DOC = 36. Следовательно, S_BOC + S_AOD2 = 12, причем равенство достигается, если S_BOC = S_AOD, т. е. S_ABC = S_ABD, откуда AB| CD. При этом площадь четырехугольника равна 4 + 9 + 12 = 25.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	4
Название	Четырехугольники
Тема	Четырехугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.030