Условие
Даны прямая
l и точки
P и
Q, лежащие по одну сторону от нее.
На прямой
l берем точку
M и в треугольнике
PQM проводим высоты
PP' и
QQ'. При каком положении точки
M длина отрезка
P'Q'
минимальна?
Решение
Построим окружность с диаметром
PQ. Если эта окружность
пересекается с прямой
l, то любая из точек пересечения является
искомой, поскольку в этом случае
P' =
Q'. Если же окружность
не пересекается с прямой
l, то для любой точки
M
на прямой
l угол
PMQ острый и
P'PQ' = 90
o±
PMQ. Теперь легко убедиться, что длина хорды
P'Q' минимальна,
если угол
PMQ максимален. Для нахождения точки
M остается
провести через точки
P и
Q окружности, касающиеся
прямой
l (см. задачу
8.56, а)), и из точек касания выбрать нужную.
Источники и прецеденты использования
