Информация о задаче

Задача 57562

Тема:

[

Экстремальные свойства (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$ . Найдите наибольшее значение $\alpha$ .

Решение

Предположим сначала, что точки являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сумма углов пятиугольника равна 540^o, поэтому один из его углов не превосходит 540^o/5 = 108^o. Диагонали делят этот угол на три угла, поэтому один из них не превосходит 108^o/3 = 36^o. В этом случае $\alpha$ $\le$ 36^o.
Если точки не являются вершинами выпуклого пятиугольника, то одна из них лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Один из углов этого треугольника не превосходит 60^o. Отрезок, соединяющий соответствующую вершину с внутренней точкой, делит этот угол на два угла, поэтому один из них не превосходит 30^o. В этом случае $\alpha$ $\le$ 30^o. Во всех случаях $\alpha$ $\le$ 36^o. Ясно, что для правильного пятиугольника $\alpha$ = 36^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Экстремальные свойства (прочее)
задача
Номер	11.042