Условие
а) Докажите, что если для некоторого
треугольника
p = 2
R +
r, то этот треугольник прямоугольный.
б) Докажите, что если
p = 2
R sin
+
rctg(
/2), то
— один
из углов треугольника (предполагается, что
0 <
<
).
Решение
Решим сразу задачу б), частным случаем которой
является задача а). Так
как
ctg(
/2) = sin
/(1 - cos
),
то
p2(1 -
x)
2 = (1 -
x2)(2
R(1 -
x) +
r)
2, где
x = cos
.
Корень
x0 = 1 этого уравнения нас не интересует, так как в
этом случае
ctg(
/2) был бы не определен; поэтому,
сократив обе части уравнения на 1 -
x, придем к кубическому
уравнению. Использовав результаты
задач
12.38, 12.39, б),
12.41, б), можно
проверить, что это уравнение совпадает с
уравнением
(
x - cos
)(
x - cos
)(
x - cos
) = 0,
где
,
и
— углы треугольника. Значит,
косинус угла
равен косинусу одного из углов
треугольника; кроме того, косинус монотонен на интервале
от 0 до
.
Источники и прецеденты использования
