Информация о задаче

Задача 57621

Тема:

[

Синусы и косинусы углов треугольника

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ = (R + r)/R.

Решение

Складывая равенства cos $\alpha$ + cos $\beta$ = 2 cos(( $\alpha$ + $\beta$ )/2)cos(( $\alpha$ - $\beta$ )/2) и cos $\gamma$ = - cos( $\alpha$ + $\beta$ ) = - 2 cos²(( $\alpha$ + $\beta$ )/2) + 1 и учитывая, что cos(( $\alpha$ - $\beta$ )/2) - cos(( $\alpha$ + $\beta$ )/2) = 2 sin( $\alpha$ /2)sin( $\beta$ /2), получаем cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ = 4 sin( $\alpha$ /2)×sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2) + 1 = ${\frac{r}{R}}$ + 1 (см. задачу 12.36, а)).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.038