Задача 58370

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Решение

Пусть L — данное аффинное преобразование, O — произвольная точка, T — сдвиг на вектор , и пусть L₁ = ToL. Тогда O — неподвижная точка преобразования L₁. Среди всех точек единичной окружности с центром O выберем точку A, для которой максимальна длина вектора L(). Пусть H — поворотная гомотетия с центром O, которая точку L₁(A) переводит в точку A, и пусть L₂ = HoL₁ = HoToL. Тогда L₂ есть аффинное преобразование, которое оставляет на месте точки O и A, а значит, согласно задаче 29.4, в), и все остальные точки прямой OA, причем, в силу выбора точки A, для всех точек M имеем неравенство ||| L()|.
Докажем (и из этого будет следовать утверждение задачи), что L₂ — сжатие относительно прямой OA. Если преобразование L₂ тождественно, то оно является сжатием с коэффициентом 1, поэтому будем считать, что L₂ не тождественно. Согласно задаче 29.9 все прямые вида , где M — произвольная точка не на прямой OA, друг другу параллельны. Пусть  — единичный вектор, перпендикулярный всем этим прямым. Тогда B — неподвижная точка преобразования L₂, так как иначе было бы

|| = > | OB|.

Если B не лежит на прямой OA, то согласно задаче 29.6, б) преобразование L₂ тождественно. Если B лежит на прямой OA, то все прямые вида ML₂(M) перпендикулярны неподвижной прямой преобразования L₂. При помощи задачи 29.4, в) несложно показать, что отображение, обладающее этим свойством, является растяжением или сжатием.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.009