|
|
 |
Условие
Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень [], то вторым корнем служит число
Решение
Корень α квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид где p и q рациональны, а d – натуральное число "без квадратов" (в его разложение все простые множители входят в первой степени). Так как представление иррационального числа в таком виде единственно, то из формулы корней квадратного уравнения следует, что второй корень равен
Это значит, что квадратное уравнение с корнем α единственно с точностью до множителя.
Как показано в решении задачи 60623, число α = [] является корнем уравнения bx² – abx – a = 0. Пусть β – второй корень этого уравнения. Тогда
Это значит, что
является положительным корнем уравнения ax² – abx – b = 0, то есть (согласно той же задаче 60623)
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 5 |
| Название | Цепные дроби |
| Тема | Цепные (непрерывные) дроби |
| задача | |
| Номер | 03.172 |
