Задача 61163

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите равенства:
  a)  cos ^π/₅ – cos ^2π/₅ = ½;
  б)  cosec ^π/₇ = cosec ^2π/₇ + cosec ^3π/₇;
  в)  sin 9° + sin 49° + sin 89° + ... + sin 329° = 0.

Подсказка

  а) Воспользуйтесь результатом задачи 55373 а) для правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность.

  б) Рассмотрим правильный семиугольник A₁A₂, ..., A₇. Пусть M – точка пересечения диагоналей A₁A₄ и A₂A₅. Равенство задачи следует из подобия треугольников A₁MA₅ и A₂A₃A₄.

  в) Воспользуйтесь результатом задачи 55373 а) для правильного двенадцатиугольника, вписанного в единичную окружность.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Геометрия помогает алгебре
Тема	Неопределено
задача
Номер	08.002