Задача 61294

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Тригонометрические замены ] [ Итерации ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Решите систему:
 

Решение

  Сделав замену  x = 2 – 2u,  y = 2 – 2v,  z = 2 – 2w,  получим систему
    v = 2u² – 1,
    w = 2v² – 1,
    u = 2w² – 1.
  Согласно задаче 61282 решения этой системы  (1, 1, 1),  (– ½, – ½, – ½),  (cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, cos ^8π/₉),  (cos ^2π/₇, cos ^4π/₇, cos ^8π/₇)  и все получающиеся из них циклическими перестановками.

Ответ

 (0, 0, 0),  (3, 3, 3),  (4 sin^{2 π}/₉, 4 sin^{2 2π}/₉, 4 sin^{2 4π}/₉),  (4 sin^{2 π}/₇, 4 sin^{2 2π}/₇, 4 sin^{2 3π}/₇)  и все получающиеся из них циклическими перестановками.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Тригонометрические замены
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.043