Задача 61334

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Итерации ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 10,11 Название задачи: Метод Лобачевского и числа Люка.

Условие

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если  |x₁| > |x₂|?

Решение

  Многочлен P₁, получаемый по методу Лобачевского, имеет вид  x² – 3x + 1.  Пусть многочлен P_n имеет вид  x² – p_nx + 1.  Тогда многочлен P_n+1 получается подстановкой x вместо x² в многочлен     то есть имеет вид     Последовательность {p_n} совпадает с последовательностью {L_2ⁿ}, где L_n – числа Люка (см. задачу 60585). Действительно  p₁ = 3 = L₂  и согласно задаче 64318 рекуррентные формулы для p_n и L_2ⁿ совпадают.
  Согласно задаче 61333 с учётом знаков корней  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.084