Задача 61409

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Выпуклость и вогнутость ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите неравенства:
  а)   n(x₁ + ... + x_n) ≥ ( + ... + )²
  б)   ≤ + ... + ;
  в)  

  г)     (неравенство Минковского).
  Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Это – частные случаи неравенства Иенсена (задача 61407) для  α₁ = ... = α_n = ¹/_n  и функций
а)       б)  f(x) = ¹/_x²;     в)  f(x) = e^nx;     г)  f(x) = ¹/_x.

Решение

в) Первый способ. Это – другая запись неравенства Коши.
Второй способ. Поcле замены  y_i = ln x_i  неравенство запишется в виде     а это – неравенство Иенсена для функции e^nx.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.058