Задача 61450

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Для многочлена  f(x) = x³ – x  найдите Δ²f(x).
Объясните, не применяя соображения делимости, почему  f(x) делится на 6 при всех целых x.

Решение

Δf(x) = (x + 1)³ – (x + 1) – (x³ – x) = 3x² + 3x,  Δ²f(x) = Δ(Δf(x)) = 6x + 6,  Δ³f(x) = 6.  Согласно задаче 61448  
Числа    и    – целые при любом целом x.

Ответ

Δ²f(x) = 6x + 6.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.023