|
|
 |
Условие
Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?
Решение
Добавим мысленно к кокосовым орехам четыре грецких. Теперь каждый моряк убирает из кучи ровно пятую часть орехов и оставляет в мешке 4/5 (4 грецких ореха всегда остаются в куче). Такие действия проделывались пять раз, значит, в мешке из n исходных орехов осталось (4/5)5·n, из которых (4/5)5·n – 4 – кокосовые. Наименьшее n, при котором это число целое, – 55. Тогда в куче осталось 45 – 4 = 4(4² – 1)(4² + 1) = 4·15·17 орехов. Это число кратно 5, так что моряки могли поделить оставшиеся орехи поровну.
Ответ
55 – 4 ореха .
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Последовательности и ряды |
| Тема | Последовательности |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Рекуррентные последовательности |
| Тема | Рекуррентные соотношения |
| задача | |
| Номер | 11.054 |
