Задача 64342

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Радикальная ось ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что  OR⊥TC,  где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение 1

  Пусть H – ортоцентр треугольника, O₁ – середина CH (см. рис.).
  OM || CH  и, как известно,  OM = ½ CH = O₁C  (см. например, решение задачи 55595). Значит, MOCO₁ – параллелограмм, а R – точка пересечения его диагоналей, то есть – середина отрезка OO₁.

  Рассмотрим описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников ABC и PQC, а также окружность Ω₂ с диаметром AB. Заметим, что AB – радикальная ось Ω и Ω₁, а PQ – радикальная ось Ω₁ и Ω₂. Эти радикальные оси пересекаются в точке T – радикальном центре этих трёх окружностей. Следовательно CT – радикальная ось Ω и Ω₁ и перпендикулярна их линии центров OO₁, что и требовалось.

Решение 2

  Проведём высоту CL (рис. слева). Заметим, что R – центр описанной окружности прямоугольного треугольника CLM. Докажем, что TC – радикальная ось описанных окружностей треугольников ABC и CLM. Тогда она перпендикулярна линии центров этих окружностей, то есть прямой OR, что и требуется.

           

  Точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, как одна из точек пересечения. Осталось доказать, что степени точки T относительно этих окружностей равны.
  Для этого рассмотрим окружность Эйлера треугольника ABC (она содержит точки P, Q, L и M, см. задачу 52511) и окружность, описанную вокруг четырёхугольника AQPB (рис. справа). Имеем  TL·TM = TP·TQ = TB·TA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
	1
Класс	10-11 класс
задача
Номер	5