Задача 64385

Темы:    [ Пятиугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Москвитин Н.А.

В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые,  AB = AE  и  BC = CD = DE.  Диагонали BD и CE пересекаются в точке F.
Докажите, что  FA = AB.

Решение 1

  Из условия задачи следует, что прямоугольные треугольники ABC и AED равны, то есть треугольник ACD – равнобедренный (см. рис.).

  Тогда  ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = ∠EDA + ∠ADC = ∠CDE.  Следовательно, равнобедренные треугольники BCD и CDE равны. Таким образом,
∠CBD = ∠CDB = ∠ECD = ∠DEC.
  Из того, что треугольник CFD – равнобедренный, и из равенства отрезков BD и CE следует, что  BF = FE.  Следовательно, треугольники ABF и AEF равны. Тогда ∠ABF = ½ ∠BFE = ½ (180° – 2∠FCD ) = 90° – ∠ECD = 90° – ∠DBC = ∠ABF, откуда  AB = AF.

Решение 2

  Пусть BC пересекает DE в точке P (см. рис.).

  Треугольник ABE – равнобедренный, следовательно,  ∠ABE = ∠AEB.  Тогда в четырёхугольнике BCDE равны стороны BC и DE и углы CBE и DBE, поэтому этот четырёхугольник – равнобокая трапеция. Следовательно,  ∠CBD = ∠CDB = ∠DBE,  то есть BD – биссектриса угла CBE. Значит, F – центр вписанной окружности треугольника PBE. Из симметрии и вписанности четырёхугольника PBAE следует, что точка A – середина дуги BE описанной окружности треугольника PBE, а, значит, по лемме о трезубце (см. задачу 53119)  AF = AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1