ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64391
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.


Решение

  Пусть O и R – соответственно центр и радиус объемлющей окружности, O1, O2, O3 и R1, R2, R3 – центры и радиусы остальных. Тогда
OOi = R – Ri  (i = 1, 2, 3),  OiOj = Ri + Rj  (i, j = 1, 2, 3,  i ≠ j).  Отсюда OO1O2O3 = OO2O3O1 = OO3O1O2 = R – R1R2R3 = d.
  Пусть  d ≠ 0,  например,  d > 0.  Тогда расстояние от O до любой из точек O1, O2, O3 больше, чем расстояние между остальными двумя точками. Это определяет O однозначно, вопреки условию. Действительно, если в каждой из пар  (OO1,O2O3),  (OO2, O1O3)  и  (OO3, O1O2)  раскрасить длинный отрезок в красный цвет, а короткий – в синий, то O – единственная точка, в которой сходятся три отрезка одного цвета. То же верно при  d < 0.
  Следовательно,  d = 0,  и в несамопересекающемся четырёхугольнике, образованном данными точками, противоположные стороны равны и диагонали равны. Значит, это прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 8
задача
Номер 8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .