Задача 64393
|
|
 |
Условие
Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E1; продолжения сторон BC и DE – в точке A1. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE1C, пересекает ω в точке B1; аналогично определяется точка D1. Докажите, что B1D1 || AE.
Решение
Отметим вне окружности на луче B1B точку M, а на луче D1D точку N (см. рис.). По теореме об угле между касательной и хордой равны углы MBE1 и BCE1, а также NDA1 и DCA1. Используя равенство вертикальных углов, получим, что ∠ABB1 = ∠MBE1 = ∠BCE1 = ∠DCA1 = ∠NDA1 = ∠EDD1. Следовательно, дуги AD1 и EB1 равны, откуда и следует утверждение задачи.
