Задача 64463

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Перебор случаев ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Плотников М.

Вокруг треугольника ABC описана окружность. Пусть X – точка внутри окружности, K и L – точки пересечения этой окружности и прямых BX и CX соответственно. Прямая LK пересекает прямую AB в точке E, а прямую AC в точке F. Найдите геометрическое место таких точек X, что описанные окружности треугольников AFK и AEL касаются.

Решение

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажем, что указанные окружности касаются тогда и только тогда, когда  ∠BXC = ∠BOC.  Полное доказательство требует разбора большого количества случаев. Рассмотрим некоторые из них (остальные разбираются аналогично).
  1) Угол A – острый, точка X находится внутри треугольника ABC. Тогда точка K находится на дуге AC, L – на дуге AB. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внешним образом, а их общая касательная l проходит внутри угла BAC. Значит, сумма углов, образованных l со сторонами AB и AC, равна углу BAC. C другой стороны, эти углы равны соответственно углам ALE и AKF, то есть измеряются половинами дуг AK и AL. Следовательно, дуги KL и BC равны, и  ∠BXC = 2∠BAC = ∠BOC.  Аналогично получаем, что при этом условии указанные описанные окружности касаются.
  2) Угол A – острый, точка X находится в сегменте, отсечённом стороной AC. Тогда точка K находится на дуге AC, L – на дуге AK. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внутренним образом, их общая касательная l проходит вне угла BAC. В этом случае угол BAC равен разности углов, образованных l со сторонами AB и AC. Вновь дуги KL и BC равны, и далее рассуждения не отличаются от 1).
  3) Угол A – тупой, точка X находится в сегменте, отсечённом стороной BC и не содержащем точку A. Тогда точка K находится на большей дуге BC, L – на дуге BK. Описанные окружности треугольников AFK и AEL могут касаться только внешним образом, их общая касательная l проходит внутри угла BAC. Сумма углов, образованных l со сторонами AB и AC, равна углу BAC. Эти углы равны углам ALF и AKE и измеряются половинами дуг AK и AL. Дуги KL и BC снова равны, но  ∠BXC = 2(180° – ∠BAC) = ∠BOC.

Ответ

Если угол A – прямой, таких точек нет. В остальных случаях – дуга окружности, проходящей через B, C и центр O описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	8