Задача 64622

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Число x таково, что среди четырёх чисел     ровно одно не является целым.
Найдите все такие x.

Решение

  Заметим, что b и c не могут одновременно быть целыми. Действительно, тогда число  b + c = 2x  также целое, значит, x рационально, поэтому как a, так и d не будут целыми. Итак, одно из чисел b, c нецелое, а тогда a и d должны оба быть целыми.

  Значит,     при целом a. Тогда     откуда следует, что  2a + 2 = 0  (иначе d иррационально). Итак,     Осталось проверить, что найденное число подходит: для него целыми будут числа  a = –1,  b = –2  и
d = –3.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5