ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64742
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Теорема Паскаля ]
[ Формула Эйлера ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O, I – центры описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника; R, r – радиусы этих окружностей; J – точка, симметричная вершине прямого угла относительно I. Найдите OJ.


Решение 1

  Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник,  ∠C = 90°.  Очевидно, что окружность с центром J и радиусом 2r касается AC и BC. Докажем, что она касается также описанной окружности Ω треугольника ABC; отсюда как раз и будет следовать, что  OJ = R – 2r.
  Рассмотрим окружность ω, касающуюся AC, BC в точках P, Q соответственно, и касающуюся Ω изнутри в точке T; нам надо доказать, что J – центр ω. Так как T – центр гомотетии ω и Ω, прямые TP, TQ вторично пересекают описанную окружность в точках, касательные в которых параллельны AC и BC, то есть в серединах B', A' дуг AC, C. Поэтому прямые AA' и BB' пересекаются в точке I. По теореме Паскаля (см. задачу 57105), применённой к ломаной CAA'TB'B, точки P, I, Q лежат на одной прямой. Поскольку прямая PQ перпендикулярна биссектрисе угла C, P, Q – проекции J на AC и BC, что и означает, что J – центр ω.


Решение 2

  По формуле Эйлера (см. задачу 52464)  OI² = R(R – 2r).  Поскольку OI – медиана треугольника OCJ,  4OI² = 2(OC² + OJ²) – CJ²,  или
4R(R – 2r) = 2R² + 2OJ² – 8r²,  откуда и следует, что  OJ² = (R – 2r)².


Ответ

R – 2r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .