Задача 64750

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Дан параллелограмм ABCD. На стороне AB взята точка M так, что  AD = DM.  На стороне AD взята точка N так, что  AB = BN.
Докажите, что  CM = CN.

Решение

Поскольку ABCD – параллелограмм, то  DM = AD = BC,  следовательно, DMBC – равнобедренная трапеция (см. рис.). Аналогично,  BN = AB = CD,  то есть BNDC – также равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции диагонали равны, следовательно,  CN = BD = CM,  что и требовалось.

Замечания

Отметим, что точки M и N лежат на описанной окружности треугольника BCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	12 (2014 год)
Дата	2014-04-12
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	2