Условие
Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.
Решение
Заметим, что ∠CAB = ∠ACB = ∠APB = ∠BPC = ∠APC' = ∠CPA' = 60°, ∠PBC = ∠PAC = ∠PC'A, ∠PBA = ∠PCA = ∠PA'C (см. рис.). Следовательно, следующие пары треугольников подобны: BPC' и A'PB; C'PA и APB'; A'PC и CPB'.
Из первого подобия следует, что BP² = C'P·A'P, из второго: AP² = C'P·B'P, из третьего: CP² = B'P·A'P. Вычислим площадь треугольника A'B'C' как сумму площадей треугольников C'B'P, C'A'P и A'B'P (используя тот факт, что углы при вершине P этих треугольников равны 120°):
где a – длина стороны треугольника ABC. Действительно, AP² + BP² + CP² = 2a² (см. задачу 53114 или задачу 57080). Поскольку
то SA'B'C' = 2.
Ответ
2.
