|
|
 |
Условие
Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа a – b длина минимального периода равна 15. При каком наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа a + kb может также оказаться равной 15?
Решение
Домножив, если нужно, числа a и b на подходящую степень десятки, мы можем считать, что десятичные записи чисел a, b, a – b и a + kb – чисто периодические (то есть периоды начинаются сразу после запятой).
Тогда Нам также известно, что числа
и
записываются десятичными дробями с периодом длины 15, то есть могут быть записаны как обыкновенные дроби со знаменателем 1015 – 1. Поэтому так может быть записана и их разность
Таким образом, число (k + 1)n делится на 1015 + 1, а число n – не делится (иначе и b записывалось бы дробью с периодом длины 15). Значит, число k + 1 делится на некоторый простой делитель числа 1015 + 1. Наименьший из таких делителей – это 7. Действительно, число 1015 + 1 не делится ни на 2, ни на 5 и даёт остаток 2 при делении на 3. С другой стороны, оно делится на 103 + 1 = 7·143. Итак, k + 1 ≥ 7, то есть k ≥ 6.
Пусть Тогда
Ясно, что длины минимальных периодов чисел
a – b и a + 6b равны 15. Длины минимальных периодов чисел a и b больше 15 и делятся на 15 (так как 10T – 1 должно делиться на 1015 – 1). С другой стороны, так как 1030 – 1 делится на 7(1015 – 1), числа a и b периодичны с длиной периода 30. Значит, длины их минимальных периодов равны 30.
Ответ
При k = 6.
