Задача 64847

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Авторы: Казицына Т.В., Френкин Б.Р.

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Решение

Пусть наибольшая сторона AB многоугольника касается вписанной окружности в точке K, а BC и AD – соседние стороны. Тогда  BC > BK,  AD > AK,  значит,
BC + AD > AB,  и из сторон AB, AC и BC можно составить треугольник.

Замечания

баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	36
Дата	2014/15
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	1