Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на неё.

   Решение

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC биссектрисы углов A и B обратно пропорциональны противолежащим сторонам. Найдите угол C.

Решение

Пусть AA₁, BB₁ – биссектрисы треугольника, AA₂, BB₂ – его высоты. По условию  AA₁ : AA₂ = BB₁ : BB₂  и, значит,  ∠A₁AA₂ = ∠B₁BB₂.  Но
∠A₁AA₂ = |∠B – ∠C|,  ∠B₁BB₂ = |∠A – ∠C|.  Так как треугольник неравнобедренный, равенство  ∠A – ∠C = ∠B – ∠C  невозможно. Следовательно,
∠C = ½ (∠A + ∠B) = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования