Задача 65113

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Дмитриев О., Женодаров Р.Г.

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  n, n + 1, ..., n + 8.  При каких n он сможет это сделать?

Решение

  Сумма исходных чисел равна 0, а за каждый ход сумма чисел изменяется на 2. Значит, она всегда чётна, то есть числа 1, 2, ..., 9 с суммой 45 получить нельзя.
  Набор 2, 3, ..., 10 получить можно. Один из возможных способов представлен на рис. а)-в), где одинаковые числа показывают, к каким двум клеткам и сколько раз применяется операция прибавления единицы. Итоговый результат показан на рис. г).

  Покажем, что при  n > 2  нельзя получить набор чисел  n, n + 1, ..., n + 8.  Предположим противное. Раскрасим клетки в шахматном порядке так, как показано на рисунке. Тогда при каждом ходе одна из выбранных клеток – белая, а другая – чёрная. Значит, суммы чисел в белых и чёрных клетках изменяются на одно и то же число. Так как в начале эти суммы равны, они окажутся равными и в конце. С другой стороны, сумма чисел в чёрных клетках окажется не больше, чем  (n + 8) + (n + 7) + (n + 6) = 3n + 21,  а сумма чисел в белых – не меньше, чем  n + (n + 1) + ... + (n + 5) = 6n + 15.  При  n > 2  6n + 15 = (3n + 15) + 3n > 3n + 15 + 6 = 3n + 21;  значит, требуемые суммы равными не будут. Противоречие.

Ответ

Только при  n = 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3