Условие
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.
Решение
Пусть P' и Q' – точки, симметричные соответственно точкам P и Q относительно M. Дальше можно рассуждать по-разному.
Первый способ. QB ⊥ MP' по условию; кроме того, PBP'C – параллелограмм, так что P'B || PC ⊥ QM. Поэтому B – точка пересечения
высот треугольника MQP', то есть P'Q ⊥ MB. Аналогично PQ' ⊥ MC.
Построим параллелограмм Q'PAD (см. рис.). Так как Q'PQP' – параллелограмм, то и DAQP' – параллелограмм. Следовательно, P'D || AQ ⊥ MP',
Q'D || AP ⊥ MQ' и DH ⊥ MH. Значит, точки P', Q' и H лежат на окружности Ω с диаметром DM. При симметрии относительно точки M окружность Ω переходит в описанную окружность Ω' треугольника PMQ. При этом точка H, лежащая на Ω, переходит во вторую точку пересечения Ω' и BC, то есть в точку X. Отсюда и следует, что BH = CX.
Второй способ. Прямые P'B и Q'C симметричны относительно M прямым PC и QB соответственно. Значит, прямые P'B и Q'C пересекаются в точке A', симметричной A относительно M.
Пусть прямые P'M и Q'M пересекают соответственно стороны AB и AC в точках S и T. Применим к треугольникам P'SB и Q'TC теорему Дезарга. Точки пересечения пар прямых P'S и Q'T, P'B и Q'C, BS и CT лежат на одной прямой; значит, прямые P'Q', ST и BC пересекаются в одной точке или попарно параллельны. Последний случай невозможен, иначе треугольник ABC был бы равнобедренным.
