Задача 65250
|
|
 |
Условие
Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов x² + ax + b и x² + bx + a имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Решение
Из условия следует, что трёхчлены x² + ax + b и x² + bx + a имеют общий корень x0, а также отличные от него корни x1 и x2 соответственно; в частности, a ≠ b. Общий корень является также корнем разности этих трёхчленов, то есть (a – b)(x0 – 1) = 0. Таким образом, x0 = 1. Подставляя этот корень в любой трёхчлен, получаем 1 + a + b = 0, По теореме Виета x0 + x1 = – a, x0 + x2 = – b, откуда x0 + x1 + x2 = – x0 – a – b = –(1 + a + b) = 0.
Ответ
0.
