|
|
 |
Условие
Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Решение
Пусть ABCD – данный четырёхугольник. Если AB + CD = AD + BC, то в него можно вписать окружность. Радиусы этой окружности, проведённые в точки касания со сторонами, разрезают четырёхугольник на четыре симметричных четырёхугольника. Разрезав затем один из этих четырёхугольников на два равнобедренных треугольника, получим искомое разрезание.
Пусть AB + CD > AD + BC. Построим окружность с центром O1, касающуюся сторон AB, AD и CD в точках P1, Q1 и R1 соответственно, и окружность с центром O2, касающуюся AB, BC и CD в точках P2, Q2 и R2. Радиусы, проведённые в эти точки, разрезают ABCD на четырёхугольники AP1O1Q1, BP2O2Q2, CQ2O2R2, DQ1O1R1 и шестиугольник P1P2O2R2R1O1, симметричные относительно биссектрис углов A, B, C, D и биссектрисы угла между прямыми AB и CD соответственно.
