|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BM·CN > KM·KN.
Решение 1
Как известно, BM = ½ (AB + BK – AK), CN = ½ (AC + CK – AK), KM = ½ (AK + BK – AB), KN = ½ (AK + CK – AC) (см. задачу 55404). Подставив, получим, что доказываемое неравенство равносильно неравенству BK·AC + CK·AB > AK·BC, или CK/BC·AB + BK/BC·AC > AK.
Проведём через K прямую, параллельную AB, до пересечения с AC в точке P. Стороны KP и AP треугольника AKP равны слагаемым в левой части последнего неравенства. Таким образом, оно равносильно неравенству треугольника.
Решение 2
Опишем вокруг вписанных окружностей треугольников ABK и ACK ромбы со сторонами, параллельными AK и BC. У этих ромбов найдутся вершины M1 и N1, лежащие во внутренних точках отрезков BK и CK соответственно. Из подобия ромбов следует, что M1M : MK = KN : NN1, откуда BM·CN > MM1·NN1 = KM·KN.
Замечания
7 баллов
