|
|
 |
Условие
Точки IA, IB, IC – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из IA на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из IB на BC, в точке XC. Аналогично определяются точки XA и XB. Докажите, что прямые IAXA, IBXB и ICXC пересекаются в одной точке.
Решение
Так как центры вневписанных окружностей равноудалены от прямых, содержащих стороны треугольника, то прямая IAXC симметрична прямой, проходящей через IA и перпендикулярной BC, относительно прямой IAIB. Аналогично рассматривается симметрия прямой IBXC относительно прямой IAIB. Следовательно, точка XC симметрична точке пересечения перпендикуляров к сторонам BC и AC треугольника, проведённых из точек IA и IB соответственно, относительно прямой IAIB. Аналогично можно определить точки XA и XB.
Сменив обозначения на более привычные, получим, что задача сводится к доказательству следующего факта.
В треугольнике ABC точка O – центр описанной окружности, точка XC симметрична O относительно стороны AB. Аналогично определяются точки XA и XB. Тогда прямые AXA, BXB и CXC пересекаются в одной точке.
Мы докажем, что эти три прямые проходят через середину отрезка OH, где H – ортоцентр треугольника ABC.
Действительно, из задачи 53528 следует, что CXC является диагональю параллелограмма COXCH, то есть проходит через середину отрезка OH (рис. справа). Для двух других прямых доказательство аналогично.
