Задача 65650
|
|
 |
Условие
В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?
Решение
При n = 4 призма может быть и наклонной. Достаточно рассмотреть, например, четырёхугольную призму, у которой все грани – равные ромбы (такая фигура называется ромбоидом, рис. слева).
Пусть это не так, то есть боковые грани призмы – равные параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками. Тогда вершины основания являются вершинами трёхгранных углов двух типов:
1) с двумя равными плоскими углами;
2) с двумя плоскими углами, в сумме дающими 180°.
В первом случае проекция общего ребра для этих углов принадлежит прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла многоугольника в основании, а во втором – внешнего. Заметим, что соседние вершины основания – разных типов. Действительно, поскольку проекции параллельных прямых параллельны, то, в противном случае, мы получим параллельность биссектрис двух соседних внутренних или внешних углов выпуклого многоугольника, что невозможно. Рассмотрим любые три последовательные грани: AA1D1D, AA1B1B и BB1C1C. Пусть A' и B' – проекции A1 и B1 соответственно на плоскость основания призмы, причём A' принадлежит прямой, содержащей биссектрису внутреннего угла DAB многоугольника в основании, а B' – внешнего угла CBK (рис. справа). Тогда прямые AA' и BB' параллельны, то есть ∠A'AK = ∠B'BK, откуда ∠DAB = ∠CBK, следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Итак, мы доказали, что у многоугольника в основании призмы стороны через одну параллельны. Учитывая его выпуклость, получим, что он является параллелограммом. Противоречие.
Ответ
При всех n ≠ 4.
Замечания
Условие выпуклости призмы является существенным: при n > 4 существуют невыпуклые (но не прямые) призмы, удовлетворяющие условию.
