Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором ∠DAB = 90°. Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что ∠ADB = ∠CAM.
Решение 1
На продолжении отрезка AB за точку A отметим точку K так, что AB = AK (рис. слева). Тогда AM – средняя линия треугольника BCK, откуда
AM || CK. Значит, ∠BKC = ∠BAM = ∠ADC. Отсюда следует, что четырёхугольник AKDC вписан.
Опять используя параллельность AM и CK, получаем ∠CAM = ∠ACK = ∠ADK. DA – медиана и высота треугольника BDK, поэтому DA является и биссектрисой; отсюда ∠ADB = ∠ADK = ∠CAM.
Решение 2
Заметим, что ∠ADC + ∠DAM = ∠BAM + ∠DAM = 90°; это значит, что AM ⊥ CD. Опустим перпендикуляры MN и BP на прямую CD; тогда точки A, M и N лежат на одной прямой (рис. в центре).
Поскольку MN – средняя линия треугольника BCP, то PN = NC. Значит, AN – высота и медиана треугольника APC, откуда ∠CAM = ∠MAP. Так как BP || AN, то ∠MAP = ∠APB. Наконец, поскольку ∠BPD = ∠BAD = 90°, четырёхугольник ABPD вписан; поэтому ∠APB = ∠ADB. Итак,
∠CAM = ∠MAP = ∠APB = ∠ADB.
Решение 3
Отложим на луче AM точку Q так, что AQ = 2AM (рис. справа). Тогда в четырёхугольнике ABQC диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть он – параллелограмм; значит, ∠CAQ = ∠AQB.
Так как QC || AB, то QC ⊥ AD. Кроме того, DC ⊥ AQ (см. решение 2). Значит, C – точка пересечения высот треугольника AQD, откуда AC ⊥ QD (и, значит, BQ ⊥ QD).
Поскольку ∠BAD = ∠BQD = 90°, четырёхугольник ABQD вписан. Значит, ∠ADB = ∠AQB = ∠CAQ, что и требовалось доказать.
