Задача 65747

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Митрофанов И.В.

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.

Решение

  Будем считать, что точка Y лежит ближе к точке B, чем Z; кроме того, пусть сторона BC горизонтальна, а A лежит выше неё (см. рис.).

  Обозначим через ω_A указанную вневписанную окружность, а через ω' – вневписанную окружность треугольника XYZ, касающуюся стороны XZ. Пусть ω касается BC в точке A''. Обозначим через T точку пересечения AA' и ω, лежащую ближе к A. Гомотетия с центром A, переводящая ω в ω_A, переводит T в A'; значит, касательная к ω в T параллельна BC.
  Поскольку окружности ω и ω' вписаны в вертикальные углы, образованные прямыми XY и XZ, существует гомотетия с центром в X (и отрицательным коэффициентом), переводящая ω в ω'. При этой гомотетии точка T переходит в самую нижнюю точку окружности ω'. С другой стороны, эта точка лежит на прямой AA', значит, она совпадает с A'. Таким образом, ω' касается BC в точке A'.
  Обозначим полупериметр треугольника XYZ через p. Так как окружности ω и ω' – вневписанные для этого треугольника, то  ZA' = YA'' = p – YZ.  Значит,
XY + XZ = 2p – YZ = 2(p – YZ) + YZ = ZA' + YZ + YA'' = A'A'',  то есть не зависит от выбора точки X.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7