|
|
 |
Условие
В некотором выпуклом n-угольнике (n > 3) все расстояния между вершинами различны.
а) Назовём вершину неинтересной, если самая близкая к ней вершина – соседняя с ней. Каково наименьшее возможное количество неинтересных вершин (при данном n)?
б) Назовём вершину необычной, если самая дальняя от неё вершина – соседняя с ней. Каково наибольшее возможное количество необычных вершин (при данном n)?
Решение
а) Пример. Возьмём отрезок AB и близкую к нему выпуклую ломаную l с теми же концами и со звеньями одинаковой длины. Ломаная l и симметричная ей относительно AB образуют выпуклый многоугольник, в котором неинтересными вершинами будут только A и B. Таким образом можно получить многоугольник с любым чётным числом вершин. Теперь заменим l (лишь с одной стороны от AB) на аналогичную ломаную, у которой на одно звено больше. Так получается многоугольник с любым нечётным числом вершин, превосходящим 3, в котором неинтересными также будут только A и B. В обоих случаях малым шевелением вершин можно добиться, чтобы все расстояния между ними стали различными.
Оценка. Пусть A – интересная вершина выпуклого n-угольника, B – ближайшая к ней вершина. Отрезок AB разрезает многоугольник на "правую" и "левую" части. В правой части есть некоторая вершина C, отличная от A и B.
Пусть она интересная и D – ближайшая к ней вершина. Если D находится в левой части многоугольника, то в выпуклом четырёхугольнике ABCD
AB + CD < AD + CB, то есть сумма диагоналей меньше суммы двух противоположных сторон, что невозможно.
Значит, D лежит на границе или внутри правой части. Вместо вершин A, B можно рассмотреть C, D, и тогда в правой части станет меньше вершин. Можно повторять это рассуждение, и так как процесс не может продолжаться бесконечно, то мы найдём в правой части неинтересную вершину.
Аналогично есть неинтересная вершина в левой части, поэтому всего их не меньше двух.
б) Пример. Возьмём треугольник ABC, в котором AB > BC > AC, и немного "поломаем" сторону AC таким образом, чтобы получился выпуклый n-угольник. Тогда необычны вершины A, B, C и только они.
Оценка. Пусть X – необычная вершина, Y – самая дальняя от нее вершина, Z – другая соседняя с Y вершина. Тогда XZ < XY, поэтому угол XYZ – острый.
Предположим, что необычных вершин больше трёх. В выпуклом многоугольнике не больше трёх острых углов. Поэтому для каких-то двух необычных вершин A и C одна и та же вершина B является самой дальней (и соседней). Какая-то вершина D, отличная от A, B, C, – необычная, а соседняя с ней вершина E – самая дальняя от неё.
Пусть вершины A, B, E, D образуют выпуклый многоугольник (в таком порядке). В нем AB > AE, DE > BD, то есть сумма диагоналей меньше суммы противоположных сторон, что невозможно.
В противном случае аналогичное противоречие возникает в четырёхугольнике BCDE.
Случаи совпадения E с A или с B приводятся к противоречию аналогично.
Ответ
а) 2; б) 3 вершины.
