|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если ∠MAC = 30°, то AK = BC.
Решение 1
Точки H и M лежат на окружности с диаметром AK (рис. слева). Поэтому HM = AK sin∠MAH = AK sin 30° = AK/2. С другой стороны, HM – медиана прямоугольного треугольника BHC, поэтому BC = 2HM = AK.
Решение 2
Достроим треугольник ABC до параллелограммов ABPC и AQBC (рис. справа); тогда BP = AC = BQ и KH ⊥ PQ. M – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABPC, значит, MK и HK – серединные перпендикуляры к отрезкам AP и PQ. Следовательно, точка K – центр описанной окружности Ω треугольника APQ. ∠APQ = ∠PAC = 30°, поэтому хорда AQ окружности Ω равна радиусу AK, и BC = AQ = AK.
