Задача 66051

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

  По будням Рассеянный Учёный едет на работу по кольцевой линии московского метро от станции "Таганская" до станции "Киевская", а вечером – обратно (см. схему).

  Войдя на станцию, Учёный садится в первый же подошедший поезд. Известно, что в обоих направлениях поезда ходят с примерно равными интервалами, причём по северному маршруту (через "Белорусскую") поезд идёт от "Киевской" до "Таганской" или обратно 17 минут, а по южному маршруту (через "Павелецкую") – 11 минут.   По давней привычке Учёный всё всегда подсчитывает. Однажды он подсчитал, что по многолетним наблюдениям:
  - поезд, идущий против часовой стрелки, приходит на "Киевскую" в среднем через 1 минуту 15 секунд после того, как на неё приходит поезд, идущий по часовой стрелке. То же верно и для "Таганской".
  - на поездку из дома на работу Учёный в среднем тратит на 1 минуту меньше, чем на поездку с работы домой.
  Найдите математическое ожидание интервала между поездами, идущими в одном направлении.

Решение

  Пусть p – вероятность того, что Учёный садится в поезд, идущий по часовой стрелке. Тогда математическое ожидание времени в пути от "Таганской" до "Киевской" равно  11p + 17(1 – p) = 17 – 6p.
  На обратном пути "Киевская" – "Таганская" математическое ожидание времени в пути равно  17p + 11(1 – p) = 11 + 6p.
  По условию  (11 + 6p) – (17 – 6p) = 1,  откуда  p = ⁷/₁₂.  Обозначим интервал между поездами T. Тогда  T(1 – p) = Y,  где Y – время между приходом поезда "по часовой" и приходом поезда "против часовой" на любимые станции. Значит,  ET = ^EY/_1–p = ⁵/₄·¹²/₅ = 3.

Ответ

3 минуты.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2017
тур
задача
Номер	10