Задача 66156
|
|
 |
Условие
Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B' и C' соответственно. Через точку C' проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая l касается описанной окружности ω треугольника B'OC.
Решение
Пусть прямые AO и l пересекаются в точке T (см. рис.). Из симметрии относительно AO имеем ∠B'TO = ∠C'TO = ∠OAC = ∠OCA = ∠B'CO, то есть T лежит на окружности ω. Из аналогичных соображений ∠OB'T = ∠OC'T = ∠OCA = ∠OTC', то есть прямая TC' касается ω в точке T.
Замечания
Можно заметить, что O и T – центры окружностей, описанных около треугольника B'C'T и трапеции BCB'C' соответственно.
