|
|
 |
Условие
Точка $M$ – середина стороны $BC$ треугольника $ABC$. Окружность $\omega$ проходит через точку $A$, касается прямой $BC$ в точке $M$ и пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $AC$ – в точке $E$. Пусть $X$ и $Y$ – середины отрезков $BE$ и $CD$ соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $MXY$, касается $\omega$.Решение
Заметим, что $MX$ и $MY$ – средние линии треугольников $BCE$ и $BCD$ (см. рисунок), поэтому $\angle XMB = \angle C$ и $\angle CMY = \angle B$.
Тогда $$\angle YMX = 180^\circ - \angle XMB - \angle CMY = \angle A.$$ По свойству касательной и секущей к окружности имеем $BM^2 = BD \cdot BA$, откуда $$ MY = \frac{BD}{2} = \frac{BM^2}{2 AB}.$$ Аналогично получаем $$ MX= \frac{CM^2 }{2 AC}.$$ Деля одно на другое и пользуясь тем, что $BM = CM$, находим $$\frac{MY}{MX} = \frac{BM^2}{CM^2} \cdot \frac{2 AC}{2 AB} = \frac{AC}{AB}.$$ Получаем, что треугольники $BAC$ и $XMY$ подобны по углу и отношению прилежащих сторон.
Лемма (обратная теорема об угле между касательной и хордой). Пусть в треугольнике $PQR$ угол $Q$ равен углу между отрезком $PR$ и прямой $\ell$, проходящей через $R$, как на рисунке. Тогда прямая $\ell$ касается описанной окружности треугольника $PQR$.
Доказательство леммы. Проведем прямую $\ell'$, касающуюся окружности в точке $R$. Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой $\ell'$ и отрезком $PR$ тоже равен углу $Q$ треугольника. Отсюда следует, что $\ell$ и $\ell'$ совпадают. Лемма доказана.
Тогда $\angle XYM = \angle ACB = \angle XMB$. Получается, что в описанной окружности треугольника $XMY$ угол, опирающийся на хорду $XM$, равен углу между хордой $XM$ и прямой $BC$. Используя лемму, заключаем, что прямая $BC$ касается окружности, описанной вокруг треугольника $XMY$. Это и означает, что рассматриваемые окружности касаются.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 84 |
| Год | 2021 |
| класс | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 4 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 84 |
| Год | 2021 |
| класс | |
| Класс | 11 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| год/номер | |
| Номер | 42 |
| Дата | 2020/21 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
| задача | |
| Номер | 3 |
